Как найти дивергенцию. Примеры.

Топ-3 брокера 2020 года:
  • FinMax
    FinMax

    Бонусы для новых трейдеров до 10 000$!

  • BINARIUM
    BINARIUM

    Огромный раздел по обучению. Бесплатные прогнозы и стратегии!

  • BINOMO
    BINOMO

    Открытие счета бесплатно, бонусы для новичков 7500 $

Дивергенция векторного поля.
Формула Гаусса-Остроградского

Данный урок представляет собой прямое продолжение статьи Поток векторного поля, и поэтому если вы зашли с поисковика, то, пожалуйста, начните с первой части, где мы подробно разобрали и решили важную задачу. А именно нашли поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении её внешней нормали:

В ходе длинного-длинного решения нами был получен ответ , что в рамках условной гидродинамической модели означает следующее: сколько жидкости в единицу времени поступило в пирамиду – столько из неё и вытекло.

Однако так бывает далеко не всегда, и на практике поток часто получается положительным или отрицательным. Задумаемся над содержательным смыслом этих результатов и для бОльшей наглядности рассмотрим не пирамиду, а кусок реки, ограниченный внешне-ориентированной поверхностью и поле скоростей этой реки в области .

Предположим, что поток через замкнутую поверхность оказался положителен: . Что это означает? Это означает, что за единицу времени из области жидкости вытекло БОЛЬШЕ, чем туда поступило. Следовательно, в области где-то есть источник(и) поля. Это может быть, например, приток реки, который увеличивает её скорость, или просто кто-то вылил ведро воды.

Отрицательное значение потока через замкнутую поверхность говорит нам о том, что за единицу времени область «поглотила» жидкость (зашло больше, чем вышло). И причина тому – сток(и) поля в данной области. Например, подземная пещера или насос, выкачивающий воду.

И, наконец, при нулевом потоке возможны две ситуации: либо в области нет источников и стоков, либо они компенсируют друг друга.

К слову, взаимная компенсация чаще всего имеет место и в первых двух случаях. Так, например, если , то это ещё не значит, что стоков нет. Возможно, источники оказались мощнее, и по итогу за единицу времени через поверхность выплеснулось 5 единиц жидкости.

И поэтому появляется интерес выяснить, есть ли у векторного поля источники / стоки, и если есть – то где. И в этом нам поможет акваланг хитрая наука под названием математический анализ.

Рассмотрим некоторую точку области и её бесконечно малую замкнутую окрестность (например, сферу или куб). Поток векторного поля через поверхность этой окрестности во внешнем направлении называется дивергенцией поля в данной точке, и обозначается через . И вот тут-то уж никуда не деться от разоблачения:

– если , то у векторного поля есть источник в данной точке (её бесконечно малой окрестности);

– и если , то в точке нет источников и стоков.

Далее. Как найти эту самую дивергенцию? Если в каждой точке области определено векторное поле и его компоненты дифференцируемы в этих точках, то скалярная функция дивергенции имеет следующий вид:

Топ-русских брокера бинарных опционов:
  • FinMax
    FinMax

    Бонусы для новых трейдеров до 10 000$!

  • BINARIUM
    BINARIUM

    Огромный раздел по обучению. Бесплатные прогнозы и стратегии!

  • BINOMO
    BINOMO

    Открытие счета бесплатно, бонусы для новичков 7500 $

или, как записывают короче:

Таким образом, в области векторному полю ставится в соответствие скалярное поле его дивергенции.

И здесь сразу можно выделить особый случай. Поле, дивергенция которого равна нулю ВО ВСЕХ точках области, называется бездивергентным или соленоидальным. Это означает, что у него нет источников и стоков. В качестве примера часто приводят трубу-«бублик» с циркулирующей водой, которая никуда не исчезает, и новой воды там не появляется. Но ещё более показательный пример – это магнитное поле с его замкнутыми силовыми линиями, у которых нет начала и конца.

Хорошо. Функция позволяет нам вычислить дивергенцию в отдельно взятых точках, и возникает вопрос: а можно ли подсчитать суммарную дивергенцию по всему телу?

Можно. С помощью тройного интеграла , который объединяет значения (элементарные потоки) через все бесконечно малые кусочки тела .

И теперь мы подошли к замечательной формуле Гаусса-Остроградского. Иногда её называют формулой Остроградского-Гаусса, иногда просто формулой Остроградского. Поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней единичной нормали равен дивергенции данного поля, вычисленной по телу , которое эта поверхность ограничивает:

Следует отметить, что в оригинале формула приводится в обратном порядке, и её краткий смысл таков: интеграл объединяет дивергенцию по всей области , и если в ней есть ТОЛЬКО источники или ТОЛЬКО стоки, то происходит их суммирование. Если же там есть и то, и другое, то интеграл «взаимоуничтожает» элементарные потоки (дивергенции) разных знаков. Таким образом, во всех случаях в «сухом остатке» получается поток через внешнюю поверхность.

Однако формула чаще используется так, как она записана выше – чтобы трудоёмкое исследование поверхности заменить вычислением банального тройного интеграла. В частности, если функция представляет собой ненулевую константу, то всё дело, по сути, сводится к вычислению объёма тела.

…вы когда-нибудь думали, что будете так рады тройным интегралам? =)

Вернёмся к эпичному Примеру 1, где у нас получился нулевой поток через пирамиду, и вычислим дивергенцию векторного поля . Очевидно, что само поле и производные его компонент определены не только в пирамиде , но и вообще во всём пространстве:

Прочтите ЭТО:  Стратегия торговли бинарными опционами «Лови тренд»

Составим скалярную функцию дивергенции, или как чаще говорят – найдём дивергенцию:

Полученная функция каждой точке пространства ставит в соответствие ноль, значит векторное поле всюду соленоидально. По формуле Гаусса-Остроградского, поток векторного поля через внешнюю сторону пирамиды равен:

Примечание: т.к. поле бездивергентно во всём пространстве, то поток равен нулю и через любую замкнутую поверхность

Огорчаться, однако, не стОит, поскольку если уж от вас потребовали вычислить поток первым способом, то никуда не деться =) А требуют, между прочим, частенько.

И здесь ещё нужно подчеркнуть следующее: если вы вычислили поток через замкнутую поверхность, и у вас получился ноль, то это ещё не значит, что в области нет источников и стоков. Они могут и существовать, но компенсировать друг друга. И первый способ решения не даёт нам ответ на этот вопрос.

Поэтому решаем второй пример вторым способом:)

Проверить, будет ли векторное поле соленоидальным, и найти его поток через замкнутую поверхность по формуле Гаусса-Остроградского

Результаты должны совпасть. Обращаю внимание, что проверка поля на соленоидальность является неотъемлемой частью задания, и на этот вопрос нужно дать аргументированный письменной ответ. Примерный образец решения в конце урока, и что приятно – задачу можно оформить в минималистичном стиле, без лишних обозначений и даже без записи самой формулы.

Ну а теперь я расскажу вам, а точнее напомню универсальный метод нахождения нормальных векторов поверхности:

Дано векторное поле и замкнутая поверхность . Вычислить поток векторного поля через данную поверхность в направлении внешней нормали:

а) непосредственно;
б) по формуле Гаусса-Остроградского.

Распространённая формулировка, позволяющая ещё раз осознать всю ценность формулы =)

Решение: чертёж здесь прост:

но вот решение – «труба» =)

а) Найдём поток векторного поля через полную поверхность цилиндра в направлении внешней нормали напрямую. В силу аддитивности поверхностного интеграла:

– боковая поверхность цилиндра ;
– его нижнее основание (единичный круг в плоскости );
– и верхнее основание (единичный круг в плоскости ).

1) Цилиндрическая поверхность параллельна оси и возникает вопрос, как найти её векторы нормали? Очень просто. Вектор нормали к поверхности в точке задаётся следующим образом:

В данном случае:

Таким образом, мы получаем целую функцию нормальных векторов для различных точек цилиндра:

Но нам нужны единичные векторы. Они разыскиваются стандартно:

Да, убедимся, что они «смотрят» вовне. Для этого можно взять несколько конкретных точек поверхности (проще всего в плоскости ) и посмотреть, какие векторы будут получаться. Так, например, для точки получаем:
– всё ОК. Собственно, этот вектор в качестве примера и изображён на чертеже. Самостоятельно проверьте какие-нибудь другие точки, и удостоверьтесь, что получаются векторы нужного направления.

Далее всё идёт по накатанной колее. Вычислим скалярное произведение:

и сведём решение к поверхностному интегралу 1-го рода:

В данном случае плоскость не годится для проецирования. Почему? Потому что цилиндрическая поверхность спроецируется в окружность нулевой площади и получится ноль. Но из боковой же поверхности торчат векторы поля, и через неё запросто может идти поток!

Поэтому в нашем распоряжении остаются две координатные плоскости, я выберу для проецирования более наглядную фронтальную плоскость . И тут возникает другая трудность – цилиндрическую поверхность , а значит, и полученный интеграл 1-го рода придётся разделить на 2 части:
, где:

– ближний к нам кусок цилиндра, а – дальний его кусок.

Проведём вычисления для первого интеграла:

Используем соответствующую формулу:
, где:

Проекция на плоскость очевидна:

Выберем следующий порядок обхода области:

При вычислении второго интеграла получится точно такой же результат:

Это я привел длинное общее решение (на всякий случай), но на самом деле тут есть короткий и изящный путь – в сумму интегралов можно сразу подставить и :

и, согласно, геометрическому смыслу этих интегралов, данная сумма равна площади боковой поверхности цилиндра:

2) Вычислим поток векторного поля через ориентированный единичный круг .

С нормалью и скалярным произведением всё просто:

а с поверхностным интегралом – ещё проще:
, поскольку

3) Третий интеграл начинается похоже:

Используем формулу , в данном случае:

Проекция (поверхности на плоскость ) представляет собой круг площади , и согласно геометрическому смыслу интеграла :

И, наконец, поток через всю поверхность:

Ответ:

Что, кстати, означает этот результат? Положительный поток через внешнюю поверхность означает, что внутри цилиндра есть источники поля. Иначе, откуда бы там взяться единицам жидкости, которые вытекли наружу? (за единицу времени)

б) Решим задачу по формуле Гаусса- Остроградского:

И, прежде всего, тут нужно убедиться, что компоненты и их производные определены во всех точках тела. В противном случае формулу применять нельзя! Должен предупредить, что это не пустая формальность – на практике встречаются поля с корнями и логарифмами, и вот там могут быть проблемы.

Составим функцию дивергенции:
, которую очень полезно проанализировать:

При увеличении «зет» от 0 до 2 дивергенция строго положительна и нарастает. Это означает то, что, во-первых, внутри цилиндра находятся исключительно источники поля. И, во-вторых, эти источники усиливаются, т.е. текущая снизу вверх жидкость начинает разгоняться. Поэтому сразу можно сказать, что поток через внешнюю поверхность будет положительным. В чём мы сейчас ещё раз убедимся аналитически:

Прочтите ЭТО:  Обучающие курсы по трейдингу бинарными опционами от WinOptionSignals

Поскольку проекция тела на плоскость представляет собой круг единичного радиуса (чертить уж не буду), то удобно перейти к цилиндрической системе координат:

Ответ:

Теперь вам, наверное, понятно, почему поверхностные интегралы и теория поля встречаются далеко не во всех учебниках по математическому анализу =)

Для самостоятельного решения:

Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали.

По умолчанию, разумеется, лучше выбрать более лёгкий путь, который представлен в образце решения. Но любителям математического анализа, наверное, будет интересно попробовать вычислить поток и непосредственно. И это ни в коем случае не чёрный юмор – среди посетителей сайта немало желающих «потягаться» с трудными задачами.

Формула Остроградского-Гаусса может помочь и достаточно неожиданным образом. Вспомним Пример 7 урока Поверхностные интегралы с трудным-трудным вычислением внешнего потока через полусферу . В случае непреодолимых трудностей с таким решением, существует окольный путь: сначала находим внешний поток через полную поверхность верхней половины шара, затем вычитаем из него поток, вычисленный через круг в направлении вектора .

И в заключение статьи я всегда стараюсь подобрать «гвоздь программы» – что-то новое, что-то яркое, и что-то воздушное:)

Сферическая система координат

До сих пор мы использовали цилиндрическую систему координат, которая, по технической сути, представляет собой «плоскую» полярную систему + дополнительную координату «зет». Но произвольную точку пространства бывает удобно определить и по-другому, а именно расстоянием от начала координат и двумя углами:

Угол называется зенитным и отсчитывается от полуоси . Данный угол изменяется в пределах и крайнему значению соответствуют точки, лежащие на нижней полуоси .

Угол называется азимутальным и отсчитывается в плоскости против часовой стрелки. Он изменяется в пределах , иными словами, «ведёт» себя точно так же, как полярный угол.

Таким образом, с помощью «ро», «тета» и «фи» можно однозначно определить любую точку пространства.

Где используется сферическая система координат? Ну, конечно же, в астрономии. Но своё скромное применения она нашла и при вычислении тройных интегралов:

Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя)

Решение: тот редкий случай, когда можно обойтись без чертежа. Однако я всё же втайне мечтаю, что потомки оценят художественную ценность моих сканов:)

Поскольку компоненты и их очевидные производные
определены во всех точках шара (и вообще всюду), то мы вправе воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского.

Составим функцию и по соответствующей формуле вычислим поток векторного поля через сферу во внешнем направлении:

Перейдём к сферической системе координат. Формулы перехода к ней таковы:

И давайте сразу преобразуем подынтегральную функцию:

Произведение трёх дифференциалов превращается в следующую вещь:
, где «добавка» – это «плата за переход» (Якобиан перехода).

Осталось определиться с порядком обхода тела. Ещё раз посмотрите на чертёж или нарисуйте шар в уме. Как учитываются все его точки? Представьте это в динамике:

– сферический радиус (расстояние от центра) изменяется в пределах , при этом зенитный угол проходит все свои значения: и получившийся полукруг с диаметром на оси совершает полный оборот вокруг этой оси:

Остальное дело техники – переход к повторным интегралам и финальные вычисления:

Тройной интеграл можно было взять и через цилиндрические координаты, но вычисления получились бы заметно труднее.

Ответ:

Положительный поток был предсказуем, т.к. поле имеет источники вообще во всех точках, кроме начала координат: .

Когда удобно использовать сферическую систему координат?

Когда нет проблем с определением зенитного угла. Как правило, это сфера и её части, сфера, вложенная в другую сферу и т.п. конструкции. Кстати, шаровой сектор из Примера 4 – там этот угол прям конфетка: , и желающие могут вычислить тройной интеграл вторым способом. Но само по себе использование ССК ещё не означает, что решение получится проще.

Спасибо за внимание, надеюсь, данная статья была полезной! Вы не просто молодцы, а самые настоящие герои:) – потому что материал о поверхностных интегралах, потоке и дивергенции действительно сложноват.

Жду вас на заключительном уроке по теме под названием Циркуляция векторного поля.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: найдём дивергенцию векторного поля:

, значит, поле не является соленоидальным.
Выполним чертёж:

Поток векторного поля через внешнюю поверхность призмы вычислим по формуле Гаусса-Остроградского:

Изобразим проекцию тела на плоскость :

Выберем следующий порядок обхода тела:

Ответ: поле не является соленоидальным,

Пример 4. Решение: найдём линию пересечения конической поверхности и сферы:
– подставим во 2-е уравнение:

Таким образом, на высоте конус пересекается со сферой по окружности . Изобразим на чертеже искомую поверхность, ограниченное ей тело и его проекцию на плоскость :

Поток векторного поля через замкнутую поверхность вычислим по формуле Гаусса-Остроградского. Найдём дивергенцию векторного поля:

Таким образом:

Перейдём к цилиндрической системе координат:

Порядок обхода тела:

Примечание 1: такой результат означает, что внутри тела есть источники и стоки поля (т.к. функция ), но они компенсируют друг друга.

Примечание 2: при вычислении можно было сразу взять интеграл и получить ноль (т.к. во внутренних интегралах от «фи» ничего не зависит), однако такое решение одобрят далеко не все рецензенты.

Пример 1. Найти дивергенцию поля в точке

Найти дивергенцию поля в точке

Прочтите ЭТО:  Бинарные опционы на акции Apple – сравнение процентов выплат брокеров

Запишем координаты векторного поля: , , . Вычислим частные производные:

Считаем их в точке

Находим дивергенцию поля в данной точке: . Получили, что в данной точке значит в ней находится источник поля.

Используя дивергенцию поля, с помощью теоремы Остроградского-Гаусса можно вычислить поток поля через замкнутую поверхность.

Пусть во всех точках и на его границе поле вектора определено и частные производные непрерывны. Тогда поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему , ограниченному поверхностью : .

Дата добавления: 2020-01-04 ; Просмотров: 3079 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Дивергенция векторного поля

Дивергенция (или расходимость) векторного поля в точке М — это предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность окружающую точку М, в направлении ее внешней нормали к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность , стягивается в точку М:

Основные свойства дивергенции:

1. — это дифференциальная характеристика поля, является скалярной величиной.

2.В каждой точке М поля показывает наличие источников или стоков поля:

3. если , то в точке М есть источник поля , при этом значение численно равно мощности источника;

4. если , то в точке М есть сток поля при этом значение численно равно мощности стока;

5. если , то в точке М нет ни источника, ни стока поля

6. вычисляется по формуле:

Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса, связывающей интеграл по замкнутой поверхности с интегралом по объёму, ограниченному этой поверхностью:

Применяем теорему о среднем к тройному интегралу:

где — это некоторая фиксированная точка в объёме, ограниченном замкнутой поверхностью (σ),

-величина этого объёма.

Теперь используем определение (1) дивергенции:

Так как при точка стремится к точке M.

Если использовать понятие дивергенции, то теорема Остроградского-Гаусса в векторной форме:

то есть поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции вектора по объему, ограниченному этой поверхностью.

Так как можно рассматривать как плотность распределения источников и стоков векторного поля то тройной интеграл

равен суммарной мощности источников и стоков по объему .

Учитывая это, смысл теоремы Остроградского-Гаусса в форме (3) можно сформулировать следующим образом: поток векторного поля изнутри замкнутой поверхности равен суммарной мощности источников и стоков этого поля, заключенных в объеме , ограниченном этой поверхностью .

Следовательно, если поток равен 0, то внутри поверхности нет источников и стоков поля или они уравновешивают друг друга.

Линейность дивергенции:

Это следует из линейности операций сложения векторов и дифференцирования.

Дивергенция произведения скалярного поля на векторное поле вычисляется по формуле:

Примеры 1 (вычисление дивергенции векторного поля)

Дано — поле радиус-вектора точки . Вычислить

то есть каждая точка М этого поля является источником постоянной мощности, равной 3.

Вычислить и объяснить смысл ее значения, если

Значение указывает на то, что в заданной точке есть источник векторного поля и мощность этого источника равна 10,25.

По рассмотренному примеру можно заметить, что любое векторное поле сопровождается скалярным полем его дивергенций.

Циркуляция

Циркуля́цией ве́кторного по́ля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. По определению.

Где — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, — бесконечно малое приращение радиус-вектора вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.

Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть

Свойство аддитивности циркуляции: циркуляция по контуру Γ есть сумма циркуляций по контурам и , то есть C = +

Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

Ротор вектора F.

В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива теорема Грина

Где — плоскость, ограничиваемая контуром Γ (внутренность контур).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 10001 — | 7789 — или читать все.

91.105.236.7 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Самые большие бонусы у брокеров:
  • FinMax
    FinMax

    Бонусы для новых трейдеров до 10 000$!

  • BINARIUM
    BINARIUM

    Огромный раздел по обучению. Бесплатные прогнозы и стратегии!

  • BINOMO
    BINOMO

    Открытие счета бесплатно, бонусы для новичков 7500 $

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Бинарные опционы: выбор брокера и счета, стратегии и роботы
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: